• 7

בעיות אחוזים - מדריך

אחוז מייצג חלק יחסי מתוך השלם, כאשר 100% מייצג את השלם. לכן, אחוז יהיה חלק יחסי מתוך השלם 100 והוא יבוטא כשבר, שהמונה שלו הוא המספר שליד סימן האחוז והמכנה שלו הוא 100.

כך למשל, 2% מייצג:
 

3% מייצג:


 וכן הלאה.
כדי לעבור משבר לאחוז נצטרך לעשות את הפעולה ההפוכה - לכפול ב-100.
למשל- 0.02 באחוזים הם 0.02 X 100 = 2%   
 


אחוזים שימושיים שמומלץ לזכור:

את 20% לדוגמה נבטא בשבר:
 
אך ניתן לקצר ולזכור בע"פ את הצמצום שלו:
   
ובכך לחסוך זמן יקר.
 
כדי למצוא 10% מהמספר, חלקו אותו ב- 10.

כך 10% נבטא בשבר:

 
כדי למצוא 50% ממספר - פשוט חצו אותו!


כדי למצוא 25% מממספר חלקו ב – 4:


כדי למצוא 75% מהמספר, חלקו ב-4 ואז הכפילו אותו ב -3.

75% זהים לשלושה רבעים.

 
 שברים נוספים שכדאי לשנן:
 


כדי למצוא מכפיל של 10%, כמו 30% או 70% ממספר, פשוט חלקו ב- 10 והכפילו במספר העשרות שיש לכם.

כדי למצוא 30%, מחלקים ב- 10 ומכפילים ב- 3.

כדי למצוא 70%, מחלקים ב- 10 ומכפילים ב- 7.

ראו דוגמאות בהמשך המאמר.
 
דוגמאות לפתרון קל ומהיר ללא חישובים מסובכים:
 
דוגמה 1

מצאו 50% מתוך 28.

פתרון:

כדי למצוא 50%, אנחנו פשוט מחלקים את המספר ב 2.

מחצית מ- 28 הוא 14.

תשובה: 14
 
דוגמה 2

בחנות נייק ניתנה הנחה של 25% על חולצה שעולה 120ש"ח. כמה הנחה ניתנה על החולצה?

פתרון:

כדי למצוא 25% מהמספר, אנו מחלקים אותו ב 4.

120 ÷ 4 = 30

תשובה: 30 ש"ח

דוגמה 3

מצאו 75% מתוך 20.

כדי למצוא 75% מהמספר, אנו מחלקים ב -4 ואז מכפילים ב -3.

20 ÷ 4 = 5

5 x 3 = 15

תשובה: 15
 
דוגמה 4

מצאו 10% מ -5 ק"מ.

כדי למצוא 10% מהמספר, חלקו אותו ב- 10.

5 ÷ 10 = 0.5

תשובה: 0.5 ק"מ או 500 מטר
 
דוגמה 5

 מצאו 60% מתוך 40 ליטרים.

כדי למצוא 60%, אנו מחלקים ב- 10 ומכפילים ב- 6.

40 ÷ 10 = 4

4 x 6 = 24

תשובה: 24 ליטרים
 
 
 כיצד להמיר שבר לאחוז?

ישנן שתי דרכים עיקריות להמיר שבר לאחוז:

1. דרך המכנה - המרת השבר לשבר שווה ערך עם מכנה של 100.
2. הדרך העשרונית - המרת השבר לעשרוני ואז המרת העשרוני לאחוז.

 
שיטה 1 - דרך המכנה

דרך זו היא דרך נהדרת לשימוש אם לשבר יש מכנה שהוא גורם 100.

להלן שני השלבים המהירים שעליכם לבצע:

1. חלקו 100 במכנה כדי למצוא את המכפיל.
2. הכפילו את המונה ואת המכנה של השבר במכפיל כדי לתת לך חלק שווה ערך עם המכנה של 100.

 
דוגמאות לשימוש בדרך המכנה:
 
דוגמה 1
יש להמיר את השבר לאחוז:
 
 
תוכלו להבחין כי המכנה, שהוא 5, הוא גורם של 100.

100 ÷ 5 = 20  אז 20 הוא המכפיל שלנו.

לכן אנחנו צריכים להכפיל את המונה והמכנה ב- 20 כדי לתת לנו חלק שווה ערך עם המכנה 100.

מכיוון שאחוז הוא פשוט שבר עם מכנה של 100, מצאנו את האחוז שלנו שהוא 60%.

אז התשובה שלנו היא: 

 
דוגמה 2
 יש להמיר לאחוז את השבר: 

המכנה הוא 20, וזה גורם של 100.

  100 ÷ 20 = 5 ולכן המכפיל שלנו הוא 5.

זה נותן לנו:

מכיוון שאחוז הוא פשוט שבר עם מכנה של 100, מצאנו את האחוז שלנו שהוא 35%.
אז התשובה תהיה:

 
שיטה 2 - דרך ההמרה העשרונית

שיטה זו עובדת היטב עבור כל שבר.

שלב 1: המירו את השבר שלכם לשבר עשרוני על ידי חלוקת המונה במכנה.

שלב 2: הכפילו את השבר העשרוני ב 100 כדי לשנות אותו לאחוז.

שיניתם כעת את השבר שלכם לאחוז.
דוגמה:

המרת השבר:

לאחוז.

שלב 1

כדי להמיר את השבר לעשרוני אנו מחלקים את המונה במכנה.

אז אנו מחשבים 3/5=0.6

שלב 2

הכפילו ב- 100 כדי לשנות אותו לאחוזים.

0.6 x 100 = 60%

זה אומר ש: 


כיצד לחשב עלייה באחוזים?

שלושה שלבים קלים כדי למצוא את אחוז השינוי בין שני מספרים.

שלב 1: הפחיתו את המספר המקורי מהמספר החדש. 

שלב 2: חלקו את המספר הזה במספר המקורי.

שלב 3: הכפילו את המספר הזה ב- 100 כדי להמיר אותו לאחוזים.

אם המספר שלילי, אז מדובר בירידה באחוזים; אם הוא חיובי, אז מדובר בעלייה באחוזים.

דוגמאות:
 
דוגמה 1

מחיר צעצוע בדרך כלל הוא 450 ₪. הוא נמכר במחיר של 360 ₪. מהו האחוז שהופחת?
 
שלב 1

אנו מפחיתים את המספר המקורי מהמספר החדש.

360 - 450 = -90
 
שלב 2

עלינו לחלק את המספר הזה למספר המקורי.

-90 ÷ 450 = -0.2
 
שלב 3

הכפילו ב- 100 כדי להמיר לאחוזים

-0.2 x 100 = -20%
 
תשובה: המחיר ירד ב -20%

אנו יכולים גם לומר כי המחיר החדש הוא 80% מהמחיר הישן:

 80% = 20 - 100 
 
דוגמה 2

רוני קנה מכונית תמורת 3200 ש"ח. הוא שיפץ אותה ובסופו של דבר מכר אותה תמורת 3800 ₪. בכמה אחוזים יותר מכר את המכונית? מצאו את העלייה באחוזים.

שלב 1

אנו מפחיתים את המספר המקורי מהמספר החדש.

3800 - 3200 = 600

שלב 2

עלינו לחלק את המספר הזה למספר המקורי.

600 ÷ 3200 = 0.1875

שלב 3

הכפילו ב- 100 כדי להמיר לאחוזים.

0.1875 x 100 = 18.75%

תשובה: רוני מכר את המכונית תמורת 18.75% יותר מששילם עבורה.

אנו יכולים גם לומר כי המחיר שהוא מכר אותו היה 118.75% מהמחיר ששילם עבורו    (100 + 18.75).
 
דוגמה 3

בתחילת היום היו במכוניתה של קרן 12 ליטרים של דלק.  היא נסעה לסידורים ובסופו של יום נותרו רק 7.5 ליטרים במיכל. מהו אחוז השינוי?

שלב 1

אנו מפחיתים את המספר המקורי מהמספר החדש.

7.5 - 12 = -4.5

שלב 2

עלינו לחלק את המספר הזה למספר המקורי.

-4.5 ÷ 12 = -0.375

שלב 3

הכפילו ב- 100 כדי להמיר לאחוזים.

-0.375 x 100 = -37.5%

תשובה: יש לה כעת 37.5% פחות דלק מאשר בתחילת היום.

בשאלות בהן האחוז והשלם נתונים ואנו מתבקשים למצוא את החלק הממשי:

נשתמש בנוסחה: חלק ממשי = שלם X אחוז 

(שבר שהמונה שלו הוא המספר ליד האחוז והמכנה שלו הוא 100).

לרוב השלם יהיה המספר אחרי המילה "מתוך" או "מ".
 
שלבים לפתרון:

1. ממירים את האחוז לשבר ע"י חלוקתו ב 100.
2. מכפילים בחלק שאנו מעוניינים להוציא ממנו את האחוז (השלם).

 
דוגמה 1
(1) מה הם 5% מתוך  500?
פתרון- נכפול את האחוז בשלם. 
השלם = 500
האחוז = 5%

1. המרנו את האחוז לשבר עשרוני ע"י חלוקתו ב 100
2. מכפילים בשלם.

 
נציב בנוסחא:



 
דרך קיצור- למצוא קודם מה הם 5% מתוך 100, ואז להכפיל בכמה שצריך. לצורך העניין - 5% מתוך 100 הם 5, ונותר לנו להכפיל פי 5, מכיוון ש500 גדול פי 5 מ-100. אז התשובה תהיה 5 X 5 = 25.
 
דוגמה 2

(2) מה הם 30% מתוך 20?

פתרון- נכפול את האחוז בשלם. 30/100 X 20 = 6.


דרך קיצור- למצוא קודם מה הם 10% מתוך השלם 20, ולאחר מכן להכפיל בכמה שצריך - במקרה הזה פי 3 מכיוון ש-30 גדול פי 3 מ-10.
10% זה 1/10 מהשלם.
לצורך העניין- 10% מ-20 הם:

 ואז נותר לנו לכפול את התוצאה פי 3 והתשובה תהיה 6.


בשאלות בהן החלק הממשי והשלם נתונים ואנו מתבקשים למצוא את האחוז:

נשתמש בנוסחה: x אחוז (100/x)= חלק ממשי לחלק לשלם

דוגמה 1

כמה אחוזים מהווים 40 מ80?

החלק הממשי הוא 40. השלם הוא 80.

נציב בנוסחה:

נציב בנוסחה 40 חלקי שמונים ונקבל חצי. x/100 = 40/80. מכאן נמצא ש- x=50%. ניתן גם להשתמש בקיצור (מתוך אחוזים שימושיים) שידוע לנו ש- 50% הם חצי.
 

 
דוגמה 2

כמה אחוזים מהווים 5 מתוך 60?

החלק הממשי הוא 5 והשלם הוא 60. נציב בנוסחה- 5/60 = x/100.



בשאלות בהן האחוז והחלק הממשי נתונים ואנו מתבקשים למצוא את השלם:
 
נשתמש בנוסחה: שלם = חלק ממשי לחלק לאחוז (שבר מתוך 100).


דוגמה

50% מתוך קבוצה הם 20. כמה אנשים בקבוצה?

20 הוא החלק הממשי, 50% הם חצי, נציב בנוסחה- שלם = 20 לחלק לחצי, שזה 40.


 
 שאלות התייקרות/ הנחה

כאשר מוצר התייקר או הוזל ונתון לנו בכמה, נחשב מהו האחוז החדש מתוך השלם.
 
דוגמה 1

ניתנו 20% הנחה על מוצר שעלה 60. כמה הוא עולה כעת?

ניתן לחשב כמה הם 20% מ-60 ולהחסיר מ-60, או לחשב ישירות כמה הם 80% (100-20) מתוך 60.
 
דוגמה 2

מוצר שעלה 60 התייקר ב20%, כמה הוא עולה כעת?

ניתן לחשב כמה הם 20% מ-60 ולהוסיף ל-60, או לחשב ישירות כמה הם 120% (100+20) מתוך 60.


דוגמה 3


מחיר מוצר לאחר הנחה של 10% הוא 70. מה היה המחיר ההתחלתי לפני ההנחה?

אם הייתה הנחה של 10%, המחיר הסופי הוא 90% (100-10) מהמחיר ההתחלתי. 90% משלם כלשהו הם 70. מכאן יש להציב בנוסחה ולמצוא את השלם.

 

• כשיש עלייה באחוזים בשלבים – יש למעשה עלייה גדולה יותר מאשר עלייה ללא שלבים. זאת מכיוון שהשלם בשלב השני גדול יותר ולכן גם התוספת גדולה יותר.

כאשר מדובר באותו חלק יחסי (אחוז), ככל שהשלם גדול יותר כך גם התוצאה גדולה יותר.

כך למשל, אם עולים ב10% ואז ב20% עולים יותר מאשר אם עולים ישירות ב30%.

כשיש ירידה באחוזים בשלבים – יש למעשה ירידה קטנה יותר מאשר ירידה באחוזים ללא שלבים. זאת מכיוון שהשלם בשלב השני קטן יותר ולכן גם הירידה קטנה יותר.

כאשר מדובר באותו חלק יחסי (אחוז), ככל שהשלם קטן יותר כך גם התוצאה קטנה יותר.

כך למשל, אם יורדים ב10% ואז ב20% יורדים פחות מאשר אם יורדים ישירות ב30%.

 

• חישוב אחוז מתוך אחוז- על מנת לחשב אחוז מתוך אחוז אחר נכפול את החלקים היחסיים ולאחר מכן את התוצאה נכפול בשלם כרגיל.

 
דוגמה

בכיתה 50 תלמידים. 20% מהילדים בכיתה הם מצטיינים במתמטיקה. 10% מתוכם מצטיינים גם באנגלית. כמה מצטיינים גם במתמטיקה וגם באנגלית?

ניתן לחשב מהם 20% ולאחר מכן לחשב 10% מתוך השלם שמצאנו, או ישירות לחשב- 10/100X20/100X 30 = 1.

תלמיד אחד מצטיין גם במתמטיקה וגם באנגלית.

זהו זה, מקווים שהמדריך הזה עזר לכם.

בהצלחה!