בעיות ממוצע - מדריך ידידותי למשתמש

• 0

בעיות ממוצע – מדריך

ממוצע הוא מספר המייצג את סך המספרים בקבוצה והוא מהווה את "המרכז" של מקבץ המספרים.

במדריך זה נתמקד בממוצע חשבוני ובממוצע משוקלל.

ממוצע חשבוני

זהו הממוצע שכולנו מכירים, בו כל המספרים (האיברים) בקבוצה שווים זה לזה מבחינת משקלם וחשיבותם.

תכונות הממוצע החשבוני

1. הממוצע יימצא בין האיבר בעל הערך הגבוה ביותר לבין האיבר בעל הערך הנמוך ביותר.
2. אם יש שני איברים בלבד – ערך הממוצע בהכרח יהיה בדיוק באמצע בין שני האיברים.
3. אם נוסיף איבר בעל ערך הגדול מהממוצע – הממוצע יגדל (ולהיפך – אם נוריד איבר בעל ערך הגדול מהממוצע הממוצע יקטן).
4. אם נוסיף איבר בעל ערך הקטן מהממוצע – הממוצע יקטן (ולהיפך – אם נוריד איבר בעל ערך הקטן מהממוצע הממוצע יגדל).

 
על מנת לחשב ממוצע חשבוני נשתמש בנוסחה הבאה:
 

 
 
דוגמה 1:

למיכאל יש 4 גולות. ליוסי יש 20 גולות ולרוני יש 3 גולות. כמה גולות יש לכל אחד בממוצע?

פתרון:

נמצא מהו הסכום הכולל של האיברים: 27 = 3 + 20 + 4

נבדוק כמה איברים יש : מיכאל, יוני ורוני הם בסה"כ 3.

כעת נבצע תרגיל על מנת לחשב את הממוצע:

 
על פי החישוב ניתן לראות כי לכל אחד מהילדים יש 9 גולות בממוצע.
 
דוגמה 2:

סיגל קיבלה תעודה עם 4 ציונים ב-4 מקצועות שונים (מתמטיקה, אנגלית, עברית ומדעים). היא חישבה את הממוצע של התעודה שלה ועלה כי הוא שווה ל-85.

כמה קיבלה במקצוע המדעים אם ידוע שקיבלה במתמטיקה 90, באנגלית 70 ובעברית 100?

פתרון:

נתון מספר האיברים - מספר המקצועות, שהוא 4.

נתון הממוצע – 85.

כמו כן, נתונים לנו ציונים ב- 3 מקצועות (מתמטיקה, אנגלית ועברית).

על מנת למצוא את הציון במקצוע המדעים נסמנו כנעלם X.

כעת נציב את כל הנתונים בנוסחה:

מכאן שסיגל קיבלה במדעים את הציון 80.
 
ממוצע משוקלל

ממוצע משוקלל זהו ממוצע בו המספרים (האיברים) בקבוצה שונים זה מזה מבחינת משקלם וחשיבותם.

תכונות הממוצע המשוקלל

1. הממוצע המשוקלל מושפע מערך האיברים בקבוצה.
2. הממוצע יהיה קרוב יותר לאיבר בעל הערך עם גורם ההשפעה הרב ביותר.
3. בהתאמה, הממוצע יהיה רחוק יותר מהאיבר בעל הערך עם גורם ההשפעה הנמוך ביותר.

 
 
על מנת לחשב ממוצע משוקלל נשתמש בנוסחה הבאה:
 

 
דוגמה:

יניב קיבל מספר ציונים בבחינות הבגרות. הוא רוצה לחשב את ממוצע הבגרויות שלו עד עתה.

ידוע שקיבל את הציונים הבאים:

 85 ב-4 יח"ל (יחידות לימוד) במתמטיקה, 100 ב-5 יח"ל באנגלית ו-80 ב-2 יח"ל לשון. מה יהיה ממוצע הבגרויות שלו?

פתרון:

על מנת למצוא מהו ממוצע הבגרויות של יניב עד עתה, יהיה עלינו להיעזר בנוסחת הממוצע המשוקלל, שכן לכל מקצוע יש משקל שונה מבחינת יחידות הלימוד.

נציב את הנתונים בנוסחה:

הממוצע המשוקלל של הבגרויות שיניב ניגש אליהן עד עתה הוא: 90.9.

ניתן לראות כי הממוצע של יניב הושפע מהאיבר בעל הערך עם גורם ההשפעה הרב ביותר; למרות שקיבל 85 בשני מקצועות, ערך הממוצע גדל בעקבות הציון הגבוה באנגלית, שלו היה גורם השפעה גדול יותר (5 יח"ל).

בהצלחה!